КАБИНЕТ   ФИЗИКИ. ЗАДАЧИ  И   РЕШЕНИЯ.

Главная страница

Термодинамика           

Кинематика

Динамика

Оптика

Законы сохранения

Статика

Электростатика

Магнетизм

Теория относительности

Колебания и волны

Квантовая физика и физика атомного ядра

52. Кузнечик сидит на одном из концов соломинки длины l = 50 см, покоящейся на гладком полу. С какой минимальной относительно пола скоростью v_o он должен прыгнуть, чтобы при приземлении попасть точно на второй конец соломинки? Масса кузнечика в β = 3 раза больше массы соломинки. Размерами кузнечика и трением между полом и соломинкой пренебречь.

 Решение:
 В системе двух тел «кузнечик + соломинка» сохраняется горизонтальная проекция суммарного импульса, откуда следует, что в неподвижной системе отсчета справедливо равенство:

mv_ocosα = Mu,
где m и М − массы кузнечика и u − скорость соломинки.
Отсюда
u = mv_ocosα/M.
 Время t_o, которое кузнечик проводит в полете, легко найти из уравнений кинематики как для тела, подброшенного вверх со скоростью v_osinα.
Элементарный расчет дает, что
t_o = 2v_osinα/g.
 За это время перемещение соломинки влево и горизонтальное перемещение кузнечика вправо примут следующие значения (см. рисунок):
S_c = ut_o = (2v_o²/g) × (m/M) × sinαcosα,
S_к = v_ot_ocosα = (2v_o²/g) × sinαcosα.
Для того, чтобы кузнечик при приземлении попал точно на правый
конец соломинки, эти величины должны быть связаны соотношением:
S_c + S_к = l.
Объединяя записанные равенства и учитывая, что m/М = β, находим величину начальной скорости кузнечика:
v_o = √{gl/(sin2α(1 + β))}.
Эта величина минимальна при sin2α = 1, т.е. при α = 45°. Таким образом, ответ имеет вид:
vo = √{gl/(1 + β)} = 1,1 м/с.

C какой скоростью бросить тело, чтобы оно перелетело стену?

С какой наименьшей скоростью V_o следует бросить тело под углом α = 56° к горизонту, чтобы оно перелетело через вертикальную стену высотой h = 5.6 м, если стена находится от точки бросания на расстоянии S = 5 м? Результат округлить до десятых.

Если толщиной стенки пренебречь, то при минимальной скорости максимальная координата У будет равна h, а координата Х в высшей точке подъёма равна S. Запишем законы движения в проекции на ось У и Х:

S = v_ot cos α.

h = v_ot sin α − gt² / 2.

Из первой формулы выражаем t:

t = S / (v_o cos α).

h = v_o (sin α) S / (v_o cos α) − gS² / (2v_o² cos² α).

h = S tg α − gS² / (2v_o² cos² α).

Умножив обе части уравнения на 2v_o² cos² α, получим:

2hv_o² cos² α = 2S (tg α) v_o² cos² α − gS².

Отсюда v_o = √(gS² / (S sin (2α) − 2h cos² α)).

h — это не максимальная высота подъема, а S — это координата вдоль оси X не вершины параболы.